Mathematische Unterhaltung

Und ganz in diesem Sinne habe ich diesen kleinen Artikel verfasst. Was wäre denn schon eine Seite ganz ohne ein wenig nicht ganz so ernst gemeinter Mathematik. Die folgenden mathematischen Spielereien sollten übrigens auch ohne größere Mathematikkenntnisse recht unterhaltsam sein. Nur "echte" Mathematiker müssen vielleicht hin und wieder das ein oder andere Auge zudrücken ;-)

Bleibt nur noch die Frage zu klären, mit was wir beginnen... hmmm. Vielleicht mt einem Seil, das wir um den Äquator spannen... oder doch lieber mit ein paar Ziegen? Vielleicht auch einfach mit der Zahl Pi. Nein, nein, ich denke das verschieben wir noch ein wenig. Fangen wir doch mit einem schlichten und einfachen Dreieck an:

Aus vier Einzelteilen zusammengesetzt scheint da reichlich wenig ungewöhlich dran zu sein. Doch was passiert, wenn wir die Teile ein wenig anders ansortieren? Wir benutzen die selben Teile, in der seben Größe und verschieben sie einfach nur ein wenig. Und jetzt? Hat sich etwa der Flächeninhalt des Dreiecks geändert?

Plötzlich ein Loch. Die gleichen Teile, nur ein wenig umsortiert, und da ist ein Loch? Na, wer kommt auf des Rätsels Lösung, wer findet das verlorene Quadrat?

Wer Hilfe bei der Lösung braucht, der findet diese übrigens hier. Doch fahren wir fort. Wie wär´s mit einem Seil, das wir Rund um die Erde spannen? Direkt auf dem Äuator einmal rund um den Erdball, so dass es absolut straff gespannt ist. Was glaubst du passiert, wenn wir das Seil nun um einen einzigen Meter verlängern?

Wie weit glaubst du steht das Seil vom Erdboden ab, wenn wir es nun erneut straff spannen? Mach dir den Spaß und gebe einen Tipp ab, bevor du zur Lösung nach unten scrollst.

Das überraschende Ergebnis? Auch bei unserem Planeten beträgt der Abstand genau 15,9cm! Und machen wir das Experiment auf der Sonne (und angenommen wir haben nen genügend starken Sonnenschutz dabei...), so können wir das selbe Ergebnis feststellen: 15,9cm! Egal wie groß die Kugel, das Ergebnis bleibt das gleiche. Einzusehen ist das mit folgender Rechnung, für die man nicht mehr wissen muss als die Formel für den Umfang eines Kreises:

Auf der linken Seite steht der neue Umfang (also der alte Umfang U plus einen Meter) und auf der rechten Seite zwei mal Pi mal den neuen Radius (welcher der alte Radius r plus ein Stückchen x ist, um das der neue Radius nun länger ist). x ist also genau die Größe, die wir berechnen wollen. Stellen wir nun danach um, so folgt:

Das Ergebnis hängt also tatsächlich nicht vom Radius der Kugel ab. Faszinierend nicht? Egal, ob wir das Experiment an einem Apfel oder einem Planeten durchführen, das Ergebnis bleibt das Selbe: 15,9cm.

Und wenn wir nun schon mal bei π sind, bleiben wir doch auch gleich dabei. Schon mal Gedanken über das Besondere an dieser Zahl gemacht? Die Natur legt sie exakt fest: der Umfang eines Kreises geteilt durch den doppelten Radius. Es ist die Naturkonstante überhaupt, und in ihren unendlich vielen Stellen

kann absolut keine Ordnung festgestellt werden. Sie ist nach aktuellem Stand der Wissenstand eine rein zufällige Zahl. Anders ausgedrückt heißt das nichts anderes, als dass jedes Wort, jede Zahl, jeder Text und jedes Buch der Welt, das je geschrieben wurde oder jemals geschrieben wird, bereits in dieser Zahl enthalten sind, wenn wir sie entsprechend in Zahlen codieren.

Mittlerweile wurde π auf fast 2,6 Billionen Stellen berechnet. Das faszinierende daran? Bereits 60 Stellen sollten genügen um selbst die kompliziertesten physikalischen Prozesse in Größenordnungen zu berechnen, die physikalisch überhaupt noch Sinn machen...

Doch verlassen wir die Unendlichkeit von Pi und wechseln zu einem etwas anschaulicheren Thema. Und den schon zu Beginn versprochenen Ziegen...;-)

Schon mal etwas vom Ziegenproblem gehört? Folgende Situation: Du bist Gast in einer Gameshow. Der Showmaster gibt dir die Möglichkeit eines von drei Toren auszuwählen. Hinter einer Tür ist ein Sportwagen, der Hauptgewinn. Hinter den anderen beiden Toren sind nur zwei Ziegen zu finden (oder gerne auch der Zonk ;-), die eine Niete darstellen. Nachdem du eines der Tore ausgewählt hast, öffnet der Showmaster eines der beiden anderen Tore, und zwar in jedem Fall eines, in dem sich eine Ziege befindet. Danach gibt er dir die Möglichkeit dein Tor noch einmal zu wechseln, wenn du das möchtest.

Nun die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf den Hauptpreis, wenn du das Tor wechselst? Lohnt es sich zu wechseln? Überlege dir, wie hoch, bei einem Wechsel des Tores, die Wahrscheinlichkeit auf den Preis ist. Und scrolle dann nach unten zur Lösung.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn du das Tor wechselst? Die (wahrscheinlich) überraschende Antwort: ²/₃.

Wenn wir das Tor wechseln haben wir tatsäch eine Gewinnchance, die deutlich größer ist als nur die erwarteten 50%. Keine 50-50-Chance mehr. Aber wieso? Nun, wir können uns ja mal die möglichen Fälle durchdenken:

1. Wählen wir ein Tor und bleiben auch nach dem Eingriff des Moderators dabei, dann haben wir eine Chance von einem Drittel.



2. Wählen wir (unwissend) das Auto (das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel), so nimmt der Moderator eine der Ziegen aus dem Spiel und wir wechseln zur anderen Ziege.



3. Wählen wir (ebenso unwissend) anfangs eine Ziege (das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln), so nimmt der Moderator die andere Ziege aus dem Spiel und wir wechseln zum Auto. Wir haben gewonnen!

Wir gewinnen also immer, wenn wir anfangs eine Ziege ausgewählt haben und dann wechseln. Und die Wahrscheinlichkeit eine Ziege zu wählen sind tatsächlich zwei Drittel...

Das war mein kleiner Ausflug in die Welt der Mathematik. Ich hoffe es ist mir gelungen zu zeigen, das die Mathematik alles andere als langweilig sein muss und auch recht unterhaltsam sein kann. Und falls der Artiklel gut ankommt zeig ich euch das nächste mal vielleicht, wie wir mit ein bisschen Mathematik das Casino leerräumen...;-)